本文由晉（jin）江（jiang）文學(xué)城獨(dú)家發(fā)布，正常章節(jié)可下載【晉（jin）江（jiang）閱讀app】支持正版。千字三分，一章一毛，一月三塊錢(qián)，可輕易收獲正版光榮，捕捉逗比作者一只。
本文由晉（jin）江（jiang）文學(xué)城獨(dú)家發(fā)布，正常章節(jié)可下載【晉（jin）江（jiang）閱讀app】支持正版。千字三分，一章一毛，一月三塊錢(qián)，可輕易收獲正版光榮，捕捉逗比作者一只。
本文由晉（jin）江（jiang）文學(xué)城獨(dú)家發(fā)布，正常章節(jié)可下載【晉（jin）江（jiang）閱讀app】支持正版。千字三分，一章一毛，一月三塊錢(qián)，可輕易收獲正版光榮，捕捉逗比作者一只。
這些東西你們看得懂么，反正我是看不懂的(⊙o⊙)…
微積分的基本公式共有四大公式:1.牛頓-萊布尼茨公式，又稱(chēng)為微積分基本公式2.格林公式，把封閉的曲線(xiàn)積分化為區(qū)域內(nèi)的二重積分，它是平面向量場(chǎng)散度的二重積分3.高斯公式，把曲面積分化為區(qū)域內(nèi)的三重積分，它是平面向量場(chǎng)散度的三重積分4.斯托克斯公式，與旋度有關(guān)。這四大公式構(gòu)成了經(jīng)典微積分學(xué)教程的骨干。
牛頓-萊布尼茨公式
基本簡(jiǎn)介：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)f(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且萊布尼茨公式，這即為牛頓-萊布尼茨公式。理解:比如路程公式:距離s=速度v*時(shí)間t，即s=v*t，那么如果t是從時(shí)間a開(kāi)始計(jì)算到時(shí)間b為止，t=b-a，而如果v不能在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)保持均速，那么上面的這個(gè)公式(s=v*t，t=b-a)就不能和諧的得到正確結(jié)果，于是引出了定積分的概念。
公式應(yīng)用：那么如何在用積分得到上述路程公式呢
公式這個(gè)公式能表明路程s是每個(gè)不同速度時(shí)候行駛的時(shí)間和當(dāng)前速度乘積的和。牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來(lái)，也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿(mǎn)意的方法。下面就是該公式的證明全過(guò)程:對(duì)函數(shù)f(x)于區(qū)間[a,b]上的定積分表達(dá)為:
b∫a*f(x)dx
現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上限作為一個(gè)變量，這樣我們就定義了一個(gè)新的函數(shù):
Φ(x)=x∫a*f(x)dx
但是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數(shù)的自變量，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個(gè)定值是沒(méi)意義的。為了只表示積分上限的變動(dòng)，我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了:
Φ(x)=x∫a*f(t)dt
研究這個(gè)函數(shù)Φ(x)的性質(zhì):1、定義函數(shù)Φ(x)=x(上限)∫a(下限)f(t)dt，則Φ與格林公式和高斯公式的聯(lián)系
'(x)=f(x)。
證明:讓函數(shù)Φ(x)獲得增量Δx，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量
ΔΦ=Φ(xΔx)-Φ(x)=xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
顯然，xΔx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而ΔΦ=xΔx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)Δx(ξ在x與xΔx之間，可由定積分中的中值定理推得，當(dāng)Δx趨向于0也就是ΔΦ趨向于0時(shí)，ξ趨向于x，f(ξ)趨向于f(x)，故有l(wèi)imΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)
可見(jiàn)這也是導(dǎo)數(shù)的定義,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a)，f(x)是f(x)的原函數(shù)。
證明:我們已證得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)c=f(x)
但Φ(a)=0(積分區(qū)間變?yōu)閇a,a]，故面積為0)，所以f(a)=c
于是有Φ(x)f(a)=f(x)，當(dāng)x=b時(shí)，Φ(b)=f(b)-f(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
把t再寫(xiě)成x，就變成了開(kāi)頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。
高階導(dǎo)數(shù)萊布尼茲公式
(uv)^(n)=∑(n，k=0)c(k,n)*u^(n-k)*v^(k)
注:c(k,n)=n!/(k!(n-k)!)^代表后面括號(hào)及其中內(nèi)容為上標(biāo)，求xx階導(dǎo)數(shù)
格林公式
基本介紹：在平面區(qū)域上的二重積分也可以通過(guò)沿區(qū)域的邊界曲線(xiàn)上的曲線(xiàn)積分來(lái)表示。
詳細(xì)介紹
折疊單連通區(qū)域的概念：設(shè)d為平面區(qū)域,如果d內(nèi)任一閉曲線(xiàn)所圍的部分區(qū)域都屬于d,則d稱(chēng)為平面單連通區(qū)域;否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域。通俗地講,單連通區(qū)域是不含”洞”(包括”點(diǎn)洞”)與”裂縫”的區(qū)域。
折疊區(qū)域的邊界曲線(xiàn)的正向規(guī)定：設(shè)是平面區(qū)域的邊界曲線(xiàn),規(guī)定的正向?yàn)?當(dāng)觀察者沿的這個(gè)方向行走時(shí),平面區(qū)域(也就是上面的d)內(nèi)位于他附近的那一部分總在他的左邊。簡(jiǎn)言之:區(qū)域的邊界曲線(xiàn)的正向應(yīng)符合條件:人沿曲線(xiàn)走,區(qū)域在左邊，人走的方向就是曲線(xiàn)的正向。
折疊格林公式：【定理】設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線(xiàn)圍成,函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有
(1)∮cp(x,y)dxq(x,y)dy=∫∫d(dq/dx-dp/dy)dxdy
其中是的取正向的邊界曲線(xiàn).
公式(1)叫做格林公式.
【證明】先證：假定區(qū)域的形狀如下(用平行于軸的直線(xiàn)穿過(guò)區(qū)域,與區(qū)域邊界曲線(xiàn)的交點(diǎn)至多兩點(diǎn))
易見(jiàn),圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊情況,我們僅對(duì)圖一所表示的區(qū)域給予證明即可.
另一方面,據(jù)對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分性質(zhì)與計(jì)算法有
因此
再假定穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線(xiàn)與的的邊界曲線(xiàn)的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn),用類(lèi)似的方法可證
綜合有當(dāng)區(qū)域的邊界曲線(xiàn)與穿過(guò)內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸(軸或軸)的任何直線(xiàn)的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn)時(shí),我,同時(shí)成立.將兩式合并之后即得格林公式
注:若區(qū)域不滿(mǎn)足以上條件,即穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)與邊界曲線(xiàn)的交點(diǎn)超過(guò)兩點(diǎn)時(shí),可在區(qū)域內(nèi)引進(jìn)一條或幾條輔助曲線(xiàn)把它分劃成幾個(gè)部分區(qū)域,使得每個(gè)部分區(qū)域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.格林公式溝通了二重積分與對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系,因此其應(yīng)用十分地廣泛.
相關(guān)介紹：對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的定義
【定義一】設(shè)是一個(gè)開(kāi)區(qū)域,函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),如果對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn),以及內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩條曲線(xiàn),,等式恒成立,就稱(chēng)曲線(xiàn)積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān);否則,稱(chēng)與路徑有關(guān).定義一還可換成下列等價(jià)的說(shuō)法若曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān),那么即:在區(qū)域內(nèi)由所構(gòu)成的閉合曲線(xiàn)上曲線(xiàn)積分為零.反過(guò)來(lái),如果在區(qū)域內(nèi)沿任意閉曲線(xiàn)的曲線(xiàn)積分為零,也可方便地導(dǎo)出在內(nèi)的曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān).
【定義二】曲線(xiàn)積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)是指,對(duì)于內(nèi)任意一條閉曲線(xiàn),恒有
折疊曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件
【定理】設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通域,函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件是等式在內(nèi)恒成立.證明:先證充分性在內(nèi)任取一條閉曲線(xiàn),因單連通,故閉曲線(xiàn)所圍成的區(qū)域全部在內(nèi).從而在上恒成立.由格林公式,有依定義二,在內(nèi)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān).再證必要性(采用反證法)假設(shè)在內(nèi)等式不恒成立,那么內(nèi)至少存在一點(diǎn),使不妨設(shè)由于在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)存在一個(gè)以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有由格林公式及二重積分性質(zhì)有這里是的正向邊界曲線(xiàn),是的面積.這與內(nèi)任意閉曲線(xiàn)上的曲線(xiàn)積分為零的條件相矛盾.故在內(nèi)等式應(yīng)恒成立.注明:定理所需要的兩個(gè)條件缺一不可.【反例】討論,其中是包圍原點(diǎn)的一條分段光滑曲線(xiàn)且正向是逆時(shí)針的.這里除去原點(diǎn)外,在所圍成的區(qū)域內(nèi)存在,連續(xù),且.在內(nèi),作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的復(fù)連通域內(nèi)使用格林公式有
高斯公式
高斯定理，靜電場(chǎng)的基本方程之一，它給出了電場(chǎng)強(qiáng)度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內(nèi)的總電量之間的關(guān)系。
高斯定理定義：通過(guò)任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數(shù)和與電常數(shù)之比。應(yīng)用學(xué)科：電力（一級(jí)學(xué)科）；通論（二級(jí)學(xué)科）
折疊高斯定理:矢量分析的重要定理之一。穿過(guò)一封閉曲面的電通量與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。換一種說(shuō)法：電場(chǎng)強(qiáng)度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比由于磁力線(xiàn)總是閉合曲線(xiàn)，因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線(xiàn)必定會(huì)從曲面內(nèi)部出來(lái)，否則這條磁力線(xiàn)就不會(huì)閉合起來(lái)了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面，定義向外為□□線(xiàn)的指向，則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù)，出來(lái)的磁通量為正，那么就可以得到通過(guò)一個(gè)閉合曲面的總磁通量為0。這個(gè)規(guī)律類(lèi)似于電場(chǎng)中的高斯定理，因此也稱(chēng)為高斯定理
電場(chǎng)強(qiáng)度e在任意面積上的面積分
稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)該面積的通量。根據(jù)庫(kù)侖定律可以證明電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)任意封閉曲面的通量正比于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，(1)
這就是高斯定理。它表示，電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，與曲面內(nèi)電荷的分布情況無(wú)關(guān)，與封閉曲面外的電荷亦無(wú)關(guān)。在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。166閱讀網(wǎng)