“尊敬的各位來(lái)賓，親愛(ài)的同學(xué)們，今天是普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的一個(gè)無(wú)比光榮的日子，我們普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的君信同學(xué)的特別論文答辯儀式在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系大禮堂舉行。讓我們有請(qǐng)我們的老朋友君信同學(xué)來(lái)到講臺(tái)上！”
一陣熱烈的掌聲歡迎下，君信從臺(tái)下起身來(lái)到了講臺(tái)上。朝著臺(tái)下恭敬的鞠了一躬。
“有請(qǐng)君信同學(xué)到發(fā)言臺(tái)上就坐?！敝鞒秩藢?duì)君信說(shuō)道。
這是事先說(shuō)好的，君信點(diǎn)了點(diǎn)頭，也沒(méi)有說(shuō)什么話，抬腳像發(fā)言臺(tái)上走去。
“請(qǐng)論文答辯委員會(huì)的成員，論文答辯委員會(huì)主席，副主席，到指定位置就坐，另外請(qǐng)各位前來(lái)參加論文答辯觀禮的其他教授和同學(xué)們依次就坐?！?br/>
“現(xiàn)在，我們將這個(gè)舞臺(tái)交給君信同學(xué)！”說(shuō)到這里，主持人知趣的走下了臺(tái)。
君信打開(kāi)了他的前面的麥克風(fēng)，輕輕的試了試，然后開(kāi)始了他的今天的發(fā)言：
“尊敬的各位導(dǎo)師，各位教授，各位來(lái)賓以及各位同學(xué)們，大家下午好，感謝大家能給抽出時(shí)間來(lái)聽(tīng)我的論文答辯，下面我們正式開(kāi)始今天的內(nèi)容?！?br/>
“愛(ài)爾蘭根綱領(lǐng)是菲利克斯·克萊因于1872年發(fā)表一個(gè)深具影響的研究綱領(lǐng)，題為新幾何研究上比較的觀點(diǎn)，由于克萊因那個(gè)時(shí)候在愛(ài)爾蘭根而得名。該綱領(lǐng)建議了對(duì)于那個(gè)時(shí)候的幾何問(wèn)題的一種新的解決辦法。這是近現(xiàn)代以來(lái)，數(shù)學(xué)界的第一個(gè)具有影響力的數(shù)學(xué)綱領(lǐng)，幾乎引領(lǐng)了整個(gè)十九世紀(jì)末的數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的研究?！?br/>
“同樣，希爾伯特先生自1917年到1922年期間，為了拯救傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)而創(chuàng)造性的提出了關(guān)于數(shù)學(xué)證明上的相關(guān)問(wèn)題的猜想，我們稱(chēng)之為希爾伯特綱領(lǐng)，雖然因?yàn)楦绲聽(tīng)柌煌陚涠ɡ淼奶岢龆嫫飘a(chǎn)，卻成功的將數(shù)學(xué)的研究引領(lǐng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時(shí)代?！?br/>
“而在1967年，我們尊敬的羅伯特-郎蘭茲教授，在給安德雷-維伊教授的信中。”說(shuō)到這里，君信的目光看向了臺(tái)下的郎蘭茲教授，郎蘭茲教授微微的向前欠了欠身子表示感謝。
“它是一組意義深遠(yuǎn)的猜想，這些猜想精確地預(yù)言了數(shù)學(xué)中某些表面上毫不相干的領(lǐng)域之間可能存在的聯(lián)系。在未來(lái)的數(shù)學(xué)研究中，郎蘭茲綱領(lǐng)必將是一個(gè)意義重大的問(wèn)題?！?br/>
“我想，去年我在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表了一篇關(guān)于谷山-志村猜想與費(fèi)馬大定理之間的關(guān)系的論文。我們用更為準(zhǔn)確的話來(lái)說(shuō)，應(yīng)該是谷山-志村-韋依猜想，后者是具有深刻算術(shù)性質(zhì)的幾何對(duì)象，但是前者是來(lái)源于截然不同的數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的高度周期性的函數(shù)。我認(rèn)為，如果證明了費(fèi)馬大定理，這同樣是對(duì)郎蘭茲綱領(lǐng)的一個(gè)重要的佐證。從這一點(diǎn)上可以看出，朗蘭茲綱領(lǐng)則提出了數(shù)論中的伽羅瓦表示與分析中的自守型之間的一個(gè)關(guān)系網(wǎng)，”
“讓我們來(lái)系統(tǒng)性的梳理一下郎蘭茲綱領(lǐng)的相關(guān)內(nèi)容吧。朗蘭茲綱領(lǐng)的根源，可以追溯到數(shù)論中最深刻的結(jié)果之一，即二次互反律。二次互反律最早產(chǎn)生于17世紀(jì)費(fèi)馬的時(shí)代，1801年高斯給出了其第一個(gè)證明。數(shù)論中經(jīng)常提到的一個(gè)問(wèn)題是：當(dāng)兩個(gè)素?cái)?shù)相除時(shí)，余數(shù)是否是完全平方?”
“二次互反律揭示了關(guān)于素?cái)?shù)p和q的兩個(gè)貌似無(wú)關(guān)的問(wèn)題之間存在的奇妙聯(lián)系，這兩個(gè)問(wèn)題是：“p除以q的余數(shù)是否為完全平方?”與“q除以p的余數(shù)是否為完全平方?”盡管關(guān)于這一定律已經(jīng)有許多證明(高斯本人就給出了六個(gè)不同的證明)，二次互反律仍然是數(shù)論中最神奇的事實(shí)之一。20世紀(jì)20年代高木貞治和埃米-阿廷又發(fā)現(xiàn)了其它的較一般的互反律。由此再反過(guò)來(lái)看待朗蘭茲綱領(lǐng)的時(shí)候，就會(huì)發(fā)現(xiàn)郎蘭茲綱領(lǐng)的一個(gè)最初動(dòng)機(jī)，就是要對(duì)更一般情形的互反律提供完全的理解。”
“請(qǐng)大家打開(kāi)論文集，翻開(kāi)到其中的第十二頁(yè)，在這里，我主要給出了關(guān)于郎蘭茲綱領(lǐng)的兩個(gè)主要的鋪墊。即以阿廷互反律為起點(diǎn)的定義：給定一個(gè)Q上的、伽羅瓦群為可交換群的數(shù)域，阿廷互反律向這個(gè)伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚L函數(shù)，并斷言：此等L-函數(shù)俱等于某些狄利克雷L函數(shù)（黎曼ζ函數(shù)的類(lèi)推，由狄利克雷特征表達(dá)）。此二種L-函數(shù)之間的準(zhǔn)確的聯(lián)系構(gòu)成了阿廷互反律?！?br/>
“在阿廷互反律的基礎(chǔ)上，只要找到適當(dāng)?shù)牡依死譒-函數(shù)的推廣，而做到這一點(diǎn)的人，便是赫克教授。赫克教授曾聯(lián)系全純自守形式（定義于上半復(fù)平面上、滿足某些函數(shù)方程的全純函數(shù)）與狄利克雷L函數(shù)。朗蘭茲教授在此基礎(chǔ)上，推廣赫克理論，以應(yīng)用于自守尖點(diǎn)表示（自守尖點(diǎn)表示是Q-阿代爾環(huán)上一般線性群GLn的某類(lèi)無(wú)限維不可約表示）。每一來(lái)自給定數(shù)域的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷L-函數(shù)，都相等于某一來(lái)自自守尖點(diǎn)表示的L-函數(shù)。”
“從這個(gè)結(jié)果，不，應(yīng)該是從這個(gè)猜想開(kāi)始，郎蘭茲教授提出了一系列關(guān)于數(shù)論個(gè)群論方面的內(nèi)容，從而將純數(shù)學(xué)和分析數(shù)學(xué)聯(lián)系在了一起，形成了規(guī)模龐大的郎蘭茲綱領(lǐng)。之后無(wú)論是函子性原則還是廣義的拉馬努金猜想，都是如此?！?br/>
“歷史的內(nèi)容我們就回顧到這個(gè)地方，接下來(lái)的時(shí)間我們開(kāi)始進(jìn)入到我的論文中來(lái)。論文的核心部分和中心意思都是，對(duì)于任意給定的函數(shù)域建立了其伽羅瓦群表示和與該域相伴的自守型之間的精確聯(lián)系?！?br/>
“即我的證明的相應(yīng)的是整體朗蘭茲綱領(lǐng)，對(duì)更抽象的所謂函數(shù)域而非通常的數(shù)域情形提供了這樣一種完全的理解。我們可以將函數(shù)域設(shè)想為由多項(xiàng)式的商組成的集合，對(duì)這些多項(xiàng)式商可以像有理數(shù)那樣進(jìn)行加、減、乘、除?！?br/>
“請(qǐng)大家將論文打開(kāi)到第二十八頁(yè)，這里介紹了一個(gè)人的成果，這個(gè)人的名字叫做弗拉基米爾-德里菲爾德?！?/P>