?一、函數(shù)與極限

    1、集合的概念

    一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。

    我們通常用大字拉丁字母a、b、c、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合a中的元素，就說(shuō)a屬于a，記作：a∈a，否則就說(shuō)a不屬于a，記作：aa。

    1、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作n

    2、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作n或n。

    3、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作z。

    4、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作q。

    5、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作r。

    集合的表示方法

    2、列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用“｛｝”括起來(lái)表示集合

    2、描述法：用集合所有元素的共同特征來(lái)表示集合。

    集合間的基本關(guān)系

    1、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合a、b，如果集合a中的任意一個(gè)元素都是集合b的元素，我們就說(shuō)a、b有包含關(guān)系，稱集合a為集合b的子集，記作ab（或ba）。。

    2相等：如何集合a是集合b的子集，且集合b是集合a的子集，此時(shí)集合a中的元素與集合b中的元素完全一樣，因此集合a與集合b相等，記作a＝b。

    3、真子集：如何集合a是集合b的子集，但存在一個(gè)元素屬于b但不屬于a，我們稱集合a是集合b的真子集。

    4、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。

    5、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：

    1、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即aa

    2、對(duì)于集合a、b、c，如果a是b的子集，b是c的子集，則a是c的子集。

    3、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。

    集合的基本運(yùn)算

    1、并集：一般地，由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素組成的集合稱為a與b的并集。記作aub。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）

    即aub＝｛x|x∈a，或x∈b｝。

    2、交集：一般地，由所有屬于集合a且屬于集合b的元素組成的集合稱為a與b的交集。記作anb。

    即anb＝｛x|x∈a，且x∈b｝。

    3、補(bǔ)集：

    1全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作u。

    2補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合a，由全集u中不屬于集合a的所有元素組成的集合稱為集合a相對(duì)于全集u的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱為集合a的補(bǔ)集，記作cua。

    即cua＝｛x|x∈u，且xa｝。

    集合中元素的個(gè)數(shù)

    1、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集。

    2、用card來(lái)表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如a＝｛a,b,c｝，則card(a)=3。

    3、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合a、b，有

    card(a)card(b)=card(aub)card(anb)

    我的問題：

    1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)a＝｛x|x是參加一百米跑的同學(xué)｝，b＝｛x|x是參加二百米跑的同學(xué)｝，c＝｛x|x是參加四百米跑的同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說(shuō)明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。1、aub；2、anb。

    2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合c＝{(x,y)|y=x}表示直線y＝x，從這個(gè)角度看，集合d={(x,y)|方程組：2x-y=1,x4y=5}表示什么？集合c、d之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言說(shuō)明這種關(guān)系。

    3、已知集合a={x|1≤x≤3}，b＝{x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷b是不是a的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使a＝b成立？

    4、對(duì)于有限集合a、b、c，能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？

    5、無(wú)限集合a＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，b＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？

    2、常量與變量

    1、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過(guò)程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過(guò)程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過(guò)程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過(guò)程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。

    2、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來(lái)表示其變化范圍。在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。

    區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示

    閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]

    開區(qū)間a＜x＜b（a，b）

    半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

    以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無(wú)限區(qū)間：

    [a，∞)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜∞；

    (-∞，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b；

    (-∞，∞)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-∞＜x＜∞

    注：其中-∞和∞，分別讀作”負(fù)無(wú)窮大”和”正無(wú)窮大”,它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。

    3、鄰域：設(shè)a與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│x-a│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)a的δ鄰域，點(diǎn)a稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。

    2、函數(shù)

    1、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f(x)、y=f(x)等等來(lái)表示。這里的字母”f”、”f”表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來(lái)表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。

    2、函數(shù)相等

    由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。

    3、域函數(shù)的表示方法

    a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2y2=r2

    b)：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。

    c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來(lái)表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為：

    3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài)

    1、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間i的所有x值總有│f(x)│≤m成立，其中m是一個(gè)與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間i有界，否則便稱無(wú)界。

    注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)

    例題：函數(shù)cosx在(-∞,∞)內(nèi)是有界的.

    2、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。