2020年夏，旅芝國(guó)首都，拉維港

    “玉汗人特別狡猾，其情報(bào)局又人才濟(jì)濟(jì)，想騙過(guò)他們很不容易?！崩辗蚩戳丝搭l頻點(diǎn)頭的凱茲，轉(zhuǎn)過(guò)身繼續(xù)向沙姆隆二世匯報(bào)：

    “我和凱茲商量之后，結(jié)合他這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)理工男的特點(diǎn)，制定了一個(gè)引誘玉汗人上鉤的計(jì)劃?！?br/>
    “如果我們把凱茲派到國(guó)外，與他的特長(zhǎng)和工作性質(zhì)明顯不符，很難不被懷疑。但在拉維港，若是面對(duì)面被策反，簡(jiǎn)直是天方夜譚。所以，我們希望引誘玉汗人通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)策反凱茲?！崩辗蚶^續(xù)分析道：

    “凱茲是‘銅墻’導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的核心設(shè)計(jì)師之一，我們相信他一定在玉汗人的關(guān)注名單之中。最近凱茲被處分，玉汗人也一定注意到了?！?br/>
    “你們是想讓玉汗人在暗網(wǎng)上，主動(dòng)聯(lián)系凱茲？”沙姆隆二世問(wèn)道。

    “是的，我是個(gè)程序員，也是一個(gè)科學(xué)愛(ài)好者，我匿名在暗網(wǎng)上活動(dòng)，但有意讓有心人可以破解并追蹤到我家的 IP地址?！眲P茲胸有成竹地說(shuō)道。

    “我們計(jì)劃讓凱茲上一個(gè)程序員們做腦力體操的論壇。由凱茲主動(dòng)發(fā)布燒腦的帖子，相信跟帖中一定會(huì)有玉汗國(guó)特工?！崩辗蛘f(shuō)道。

    “嗯，然后你們?cè)诟羞x擇聊天對(duì)象，再通過(guò)聊天找到目標(biāo)？”

    三人互望著，笑了。

    所謂的暗網(wǎng)，不是指某一個(gè)具體的網(wǎng)站，而是對(duì)可匿名又很難追蹤的網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)稱。

    通常資深玩家都是網(wǎng)絡(luò)高手，甚至是黑客級(jí)別的骨灰級(jí)玩家。

    見(jiàn)不得光的黃賭毒、買兇買槍當(dāng)然會(huì)首選暗網(wǎng)。

    但上暗網(wǎng)的也不全是壞人，很多工作壓力大、社恐的程序員就很喜歡在其間發(fā)布一些燒腦的問(wèn)題，等待高手破解。

    勒夫看著凱茲熟練地敲擊著鍵盤，定義他的住所 IP地址為底層之后，做了層層加密處理。

    凱茲轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去之后，終于打開(kāi)了對(duì)話框，輸入了他的網(wǎng)名：

    “l(fā)og?(n)-費(fèi)馬檢驗(yàn)的四重奏”。

    凱茲悠閑地從椅子上站起來(lái)，走到窗口開(kāi)窗透氣。

    勒夫一臉不解，問(wèn)道：

    “你怎么光輸入名字，不出謎題呢？這怎么引人上鉤呀？”

    凱茲神秘地笑了，說(shuō)：

    “我的網(wǎng)名就是謎題，等著吧?！?br/>
    玉汗國(guó)高原城

    哈米德叫來(lái)了巴希爾和羅珊娜，布置了任務(wù)：

    “旅芝國(guó)‘銅墻’防御系統(tǒng)的核心設(shè)計(jì)者之一凱茲，因錯(cuò)被罰，很可能心存不滿。情報(bào)中心發(fā)現(xiàn)他今天登陸了一個(gè)暗網(wǎng)，你們通過(guò)匿名身份，跟他聊聊，試探一下。”

    “‘銅墻’系統(tǒng)核心設(shè)計(jì)者？旅芝人受再大的委屈，也不可能投靠我們吧？”巴希爾搖著頭表示懷疑。

    “我也覺(jué)得不可能，但是，旅芝國(guó)技術(shù)特工上暗網(wǎng)本身就不正常，我們可不是那么好騙的，邊聊邊分析吧?！绷_珊娜點(diǎn)頭贊同巴希爾的意見(jiàn)，接著對(duì)哈米德說(shuō)：

    “老爸，把網(wǎng)址鏈接和他的網(wǎng)名、聊天記錄給我們吧。”

    “沒(méi)有聊天記錄，只有一個(gè)網(wǎng)名，log?(n)-費(fèi)馬檢驗(yàn)的四重奏。”哈米德忍不住笑著說(shuō)道。

    “有意思，巴希爾，這是你的強(qiáng)項(xiàng)，應(yīng)該是一個(gè)關(guān)于數(shù)論的謎題吧？”羅珊娜對(duì)巴希爾眨了一下眼睛，充滿期待地看著他。

    巴希爾邊思考，邊給羅珊娜講解。

    費(fèi)馬是著名的業(yè)余數(shù)學(xué)家，他被全世界記住和熟悉，主要是因?yàn)榭此坪?jiǎn)單的費(fèi)馬大定理，困擾了數(shù)學(xué)界將近300年，直到1995年才被證明。

    而費(fèi)馬小定理雖然沒(méi)有那么高的知名度，但其對(duì)于數(shù)論和密碼學(xué)的貢獻(xiàn)是毫不遜色的，可以說(shuō)是研究素?cái)?shù)的基礎(chǔ)。

    所有的素?cái)?shù)都滿足費(fèi)馬小定理，但反過(guò)來(lái)，滿足費(fèi)馬小定理的整數(shù)卻不一定是素?cái)?shù)，這些不是素?cái)?shù)的整數(shù)被稱為偽素?cái)?shù)。

    現(xiàn)代密碼學(xué)離不開(kāi)素?cái)?shù)，密碼編制者可以任意使用兩個(gè)很大的已知素?cái)?shù)A和B，可以很容易得到乘積C。

    發(fā)送密碼的人只需發(fā)出C，就是我們熟悉的所謂“公鑰”。

    截獲C的任何人想要知道A或B，除非有密碼本，否則，就需要用非常大的計(jì)算量，進(jìn)行困難的整數(shù)分解。

    當(dāng)C足夠大時(shí)（比如2^1024），整數(shù)分解需要數(shù)月甚至數(shù)年的計(jì)算時(shí)間，也就達(dá)到了保密的目的。

    為了確保A和B是素?cái)?shù)（否則，分解難度會(huì)指數(shù)級(jí)減?。?，素?cái)?shù)判定問(wèn)題就成為數(shù)論和密碼學(xué)研究的一個(gè)緊迫的課題。

    使用計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)一個(gè)大整數(shù)n是否是素?cái)?shù)，有很多種方法。無(wú)論哪一種方法的目標(biāo)都是盡可能縮短檢驗(yàn)時(shí)間。

    密碼學(xué)中使用的整數(shù)n特別大，即使用計(jì)算機(jī)，計(jì)算次數(shù)也不能與n相關(guān)（位數(shù)會(huì)擠爆內(nèi)存），最多只能與log?(n)相關(guān)。

    2002年，三位數(shù)學(xué)家證明了在多項(xiàng)式時(shí)間log^12?(n)之內(nèi)，后來(lái)優(yōu)化為log^7.5?(n)，可以對(duì)任意整數(shù)n進(jìn)行確定性的素性檢驗(yàn)。

    該檢驗(yàn)方法以三位數(shù)學(xué)家的姓氏首字母命名為AKS檢驗(yàn)法。

    遺憾的是該檢驗(yàn)方法消耗的計(jì)算機(jī)內(nèi)存過(guò)大，無(wú)法上機(jī)實(shí)用。只能停留在論文層面。

    目前，應(yīng)用于軍事、通訊、金融的密碼，底層的素性檢驗(yàn)程序使用的是概率檢驗(yàn)法。

    比較流行的算法是基于米勒-拉賓檢驗(yàn)的復(fù)合算法。

    由于費(fèi)馬偽素?cái)?shù)數(shù)量太多了，不能僅使用費(fèi)馬小定理進(jìn)行素性檢驗(yàn)用于加密。

    巴希爾的介紹讓哈米德昏昏欲睡，他連忙收住話頭，指著那個(gè)奇怪的網(wǎng)名說(shuō)：

    “作為數(shù)論研究，有些數(shù)學(xué)愛(ài)好者仍然利用費(fèi)馬檢驗(yàn)，探尋整數(shù)的極為有趣的性質(zhì)。比如我曾經(jīng)看到過(guò)一個(gè)有意思的猜想?！卑拖柦又f(shuō)：

    “對(duì)任意整數(shù)n從二進(jìn)制到log?(n)向下取整進(jìn)位制，進(jìn)行費(fèi)馬檢驗(yàn)，能夠通過(guò)檢驗(yàn)的偽素?cái)?shù)除卡邁克爾數(shù)之外，必有n=(a+1)(2a+1)的形式?！?br/>
    “有愛(ài)好者在互聯(lián)網(wǎng)發(fā)帖，公布了2^64以內(nèi)的47個(gè)偽素?cái)?shù)，均滿足上述猜想。”

    “其中最小的n=242017633321201=11000401×22000801?！?br/>
    “這47個(gè)數(shù)的兩個(gè)因子都是素?cái)?shù)嗎？”羅珊娜好奇地問(wèn)道。

    “你說(shuō)到關(guān)鍵了，按照猜想，a+1可以是素?cái)?shù)也可以是合數(shù)。如果我沒(méi)記錯(cuò)，其中46個(gè)數(shù)都只有兩個(gè)素因子，只有一個(gè)n的 a+1是三因子合數(shù)，2a+1是個(gè)素?cái)?shù)，這個(gè)n是由四個(gè)素因子組成的合數(shù)?！?br/>
    羅珊娜終于聽(tīng)明白了，問(wèn)道：

    “四重奏指的是四個(gè)素因子？對(duì)于小于2^64所有整數(shù)進(jìn)行費(fèi)馬檢驗(yàn)，進(jìn)位制從2至log (n)，能通過(guò)檢驗(yàn)的非卡邁克爾數(shù)的偽素?cái)?shù)只有一個(gè)四因子合數(shù)。這個(gè)滿足條件的最小的四因子合數(shù)到底是哪個(gè)數(shù)呀？”

    巴希爾打開(kāi)自己的電腦，從收藏夾中找到了包含47個(gè)數(shù)的表格，把那個(gè)唯一的四因子偽素?cái)?shù)抄在了黑板上：

    n=168562580058457201=103×307×9181×580624801

    其中， a+1=103×307×9181=290312401。

    “這就是log?(n)-費(fèi)馬檢驗(yàn)的四重奏！”巴希爾得意地說(shuō)道。

    哈米德贊許地看著巴希爾問(wèn)道：

    “你們給那個(gè)凱茲回復(fù)的內(nèi)容就是這四個(gè)數(shù)字，對(duì)吧？”

    巴希爾點(diǎn)頭表示認(rèn)可，羅珊娜若有所思地說(shuō)道：

    “回復(fù)這四個(gè)數(shù)字僅僅是解開(kāi)了他出的謎題，為了使聊天進(jìn)行下去，我們也需要起一個(gè)自帶謎題的網(wǎng)名，考考他?！?br/>
    “這個(gè)有意思?！卑拖枌⒕W(wǎng)名輸入欄空著，在下面輸入了聊天內(nèi)容：

    “103，307，9181，580624801”

    巴希爾將鍵盤推給了羅珊娜，頑皮地做了一個(gè)請(qǐng)的動(dòng)作。羅珊娜想了想，在網(wǎng)名欄中輸入：

    “O(√n ln?(n))-黎曼猜想的三和弦?！?