一個小小的拓撲學問題，解決起來也是干脆利落。不過君信突然反應(yīng)過來很多的理論和推理在這個時代都還沒有流傳出來。自己在解決問題的時候又習慣性的將一些推論的過程給省略過去了，也不知道這一大批的教授能不能看得懂。所以君信對這些并不是太過在意，他在意的是在這次的考試中最后兩道附加題給他帶來的一些思考。

    數(shù)學自誕生以來，便迅速發(fā)展成為人類文明進步的重要的工具，無論是戰(zhàn)爭中的廟算，還是在文治上的稅收、人口等均離不開數(shù)學的發(fā)展。

    從西方的數(shù)學發(fā)展歷史看來，古代的三大數(shù)學家歐幾里得、阿基米德和丟番圖等建立了古代數(shù)學的經(jīng)典理論，奠定了理論數(shù)學的基礎(chǔ)，將數(shù)學從生活中的具象化中提取出來形成了最初的系統(tǒng)的數(shù)學理論。

    自近現(xiàn)代以來，艾沙克牛頓和德國的萊布尼茲兩人分別各自的建立了微積分，從科學的發(fā)展來說，前者的理論對物理學的影響更大，而后者的理論對數(shù)學的影響更加的巨大。且不論兩人之后的英國和德國兩個國家為了微積分的發(fā)明的大打出手，兩人建立了微積分確實是將數(shù)學的發(fā)展推向前進。數(shù)學的發(fā)展開始進入了一個高速前行的時期，并開始與其他的學科相互交纏，相互推進。

    之后的數(shù)學家們，如高斯、歐拉、哈代、拉格朗日、希爾伯特、格羅滕迪克等等各自引領(lǐng)著各自的時代，推動著數(shù)學的進步。并在各自研究的領(lǐng)域取得令人難以想象的成就，就如高斯一生的成果，便是以他的名字命名的定理和公式就有上百個之多。

    但是就算是這些的數(shù)學大家，依舊也有不能夠解決或者沒有解決的問題，這些問題隨著時間的變化，或是在研究的過程中取得某一方面的突破，或是在研究了幾百年之后還是一籌莫展，一直困擾著數(shù)學界。

    其中最為著名的便是1900年8月世界數(shù)學家代表大會上，德國著名的數(shù)學家戴維·希爾伯特提出的著名的希爾伯特的23個問題。

    希爾伯特的23個問題分為四大板塊，第一到第六題是關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的問題，第七到第12道題是關(guān)于數(shù)論的問題，第十三到第十八是關(guān)于代數(shù)和幾何的問題，第十九到第二十三是關(guān)于數(shù)學分析的問題。截止到21世紀初，希爾伯特的23個問題仍有一些未被解決。成為數(shù)學家們急于解決的問題。

    希爾伯特的23個問題在數(shù)學史上產(chǎn)生的巨大影響，一直持續(xù)到了一百多年后，任然沒有消除，這與希爾伯特在數(shù)學上的巨大成就固然有著關(guān)系，但這些問題本來就是數(shù)學領(lǐng)域里面的難題，通過解決這些問題從而獲得的思路和想法才是這些難題才是推動數(shù)學發(fā)展的最重要的價值。

    舉個簡單的例子來說，費馬大定理的證明，便是說明著名的數(shù)學猜想在推動數(shù)學進步的最好的例子。法國人費馬死后，他在一本《算術(shù)》書上所寫的注記并沒有隨之湮沒。其長子意識到那些草草的字跡也許有其價值，就用五年時間整理，然后印出一個特殊的《算術(shù)》版本，載有他父親所做的邊注，那里面包含了一系列的定理。

    在靠近問題8的頁邊處，費馬寫著這么幾句話：

    “不可能將一個立方數(shù)寫成兩個立方數(shù)之和；或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和?！?br/>
    這個喜歡惡作劇的天才，又在后面寫下一個附加的評注：

    “我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下?！?br/>
    費馬寫下這幾行字大約是在1637年，這些被僥幸發(fā)現(xiàn)的蛛絲馬跡成了其后所有數(shù)學家的不幸。一個高中生就可以理解的定理，成了數(shù)學界最大的懸案，從此將那些世界上最聰明的頭腦整整折磨了358年。一代又一代的數(shù)學天才前赴后繼，向這一猜想發(fā)起挑戰(zhàn)。

    費馬大定理與數(shù)學的歷史有著千絲萬縷的聯(lián)系，觸及到了20世紀數(shù)論中所有重要的問題。證明過程涉及了19世紀的法國天才數(shù)學家伽羅瓦為了尋找五次方程的解而發(fā)展出的群論，20世紀的日本數(shù)學家谷山和志村提出了谷山-志村猜想，分析橢圓方程的巖澤理論和科利瓦金-弗萊切理論。最重要的是它聯(lián)系了數(shù)學中幾個各自毫無關(guān)系的領(lǐng)域，發(fā)展出了全新的數(shù)學技術(shù)。

    而這些理論在費馬大定理上的證明運用，有再次的說明了數(shù)學猜想對于數(shù)學發(fā)展的巨大推動作用。故而，每一次出現(xiàn)的數(shù)學猜想的證明，無論對錯，都會在數(shù)學界引起巨大的轟動，他可以使得不同領(lǐng)域的數(shù)學家們放下手頭上的重要的工作，然后在一個共同的場所交流著自己的思想，從而進一步的促進數(shù)學的發(fā)展。同時，這也是數(shù)學的研究在業(yè)內(nèi)是保密性最低的科學研究的一個重要原因。

    試卷上的最后兩個問題，一個出自于數(shù)論，在數(shù)論的領(lǐng)域，沒有什么比得上費馬大定理的傳奇性要高，盡管在中國哥達巴赫猜想要更加的廣為人知一點。而同樣，在拓撲學領(lǐng)域，卻也沒有什么比得上龐加萊猜想更加的吸引人了。

    龐加萊猜想是法國著名的數(shù)學家龐加萊在1904年提出的一個關(guān)于流形的猜想，即“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面?！焙唵蔚恼f，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

    這是一個在拓撲學中具有基礎(chǔ)意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會加深人們對流形性質(zhì)的認識。在2000年甚至被美國的克雷研究所設(shè)立為千禧年的七大世紀數(shù)學難題之一。與P對NP完全問題、霍奇猜想、黎曼假設(shè)、楊－米爾斯存在性和質(zhì)量缺口、納維葉－斯托克斯方程的存在性與光滑性、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想同時并立為千年數(shù)學難題，也是人類急需解決的數(shù)學難題。

    作為普林斯頓研究所的高級研究員的君信，自然是對安德魯·懷爾斯的證明過程了如指掌，而且由于先前學習的物理學的基礎(chǔ)，所以對龐加萊猜想的證明也是了如指掌。這也是他的拓撲學學習的那么好的原因，全都是為了看得懂佩雷爾曼的對龐加萊猜想的證明而進行大量的學習的結(jié)果。

    想到這里，君信便找到了一個偏僻的地方，坐了下來之后，開始了自己的推理證明過程。而首先下筆的便是1922年英國數(shù)學家莫德爾提出的一個著名的猜想，這是證明費馬大定理的重要的一個猜想推論。