定義

    亞里士多德把數(shù)學(xué)定義為“數(shù)量數(shù)學(xué)“，這個(gè)定義直到18世紀(jì)。從19世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)研究越來(lái)越嚴(yán)格，開(kāi)始涉及與數(shù)量和量度無(wú)明確關(guān)系的群論和投影幾何等抽象主題，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家開(kāi)始提出各種新的定義。這些定義中的一些強(qiáng)調(diào)了大量數(shù)學(xué)的演繹性質(zhì)，一些強(qiáng)調(diào)了它的抽象性，一些強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)中的某些話題。即使在專業(yè)人士中，對(duì)數(shù)學(xué)的定義也沒(méi)有達(dá)成共識(shí)。數(shù)學(xué)是否是藝術(shù)或科學(xué)，甚至沒(méi)有一致意見(jiàn)。[8]許多專業(yè)數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的定義不感興趣，或者認(rèn)為它是不可定義的。有些只是，“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的?！?br/>
    數(shù)學(xué)定義的三個(gè)主要類型被稱為邏輯學(xué)家，直覺(jué)主義者和形式主義者，每個(gè)都反映了不同的哲學(xué)思想學(xué)派。都有嚴(yán)重的問(wèn)題，沒(méi)有人普遍接受，沒(méi)有和解似乎是可行的。

    數(shù)學(xué)邏輯的早期定義是本杰明·皮爾士（BenjaminPeirce）的“得出必要結(jié)論的科學(xué)”（1870）。在PrincipiaMathematica，BertrandRussell和AlfredNorthWhitehead提出了被稱為邏輯主義的哲學(xué)程序，并試圖證明所有的數(shù)學(xué)概念，陳述和原則都可以用符號(hào)邏輯來(lái)定義和證明。數(shù)學(xué)的邏輯學(xué)定義是羅素的“所有數(shù)學(xué)是符號(hào)邏輯”（1903）。

    直覺(jué)主義定義，從數(shù)學(xué)家.****rouer，識(shí)別具有某些精神現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。直覺(jué)主義定義的一個(gè)例子是“數(shù)學(xué)是一個(gè)接著一個(gè)進(jìn)行構(gòu)造的心理活動(dòng)”。直觀主義的特點(diǎn)是它拒絕根據(jù)其他定義認(rèn)為有效的一些數(shù)學(xué)思想。特別是，雖然其他數(shù)學(xué)哲學(xué)允許可以被證明存在的對(duì)象，即使它們不能被構(gòu)造，但直覺(jué)主義只允許可以實(shí)際構(gòu)建的數(shù)學(xué)對(duì)象。

    正式主義定義用其符號(hào)和操作規(guī)則來(lái)確定數(shù)學(xué)。HaskellCurry將數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單地定義為“正式系統(tǒng)的科學(xué)”。[33]正式系統(tǒng)是一組符號(hào)，或令牌，還有一些規(guī)則告訴令牌如何組合成公式。在正式系統(tǒng)中，公理一詞具有特殊意義，與“不言而喻的真理”的普通含義不同。在正式系統(tǒng)中，公理是包含在給定的正式系統(tǒng)中的令牌的組合，而不需要使用系統(tǒng)的規(guī)則導(dǎo)出。[2]

    結(jié)構(gòu)

    許多如數(shù)、函數(shù)、幾何等的數(shù)學(xué)對(duì)象反應(yīng)出了定義在其中連續(xù)運(yùn)算或關(guān)系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)就研究這些結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，例如：數(shù)論研究整數(shù)在算數(shù)運(yùn)算下如何表示。此外，不同結(jié)構(gòu)卻有著相似的性質(zhì)的事情時(shí)常發(fā)生，這使得通過(guò)進(jìn)一步的抽象，然后通過(guò)對(duì)一類結(jié)構(gòu)用公理描述他們的狀態(tài)變得可能，需要研究的就是在所有的結(jié)構(gòu)里找出滿足這些公理的結(jié)構(gòu)。因此，我們可以學(xué)習(xí)群、環(huán)、域和其他的抽象系統(tǒng)把這些研究（通過(guò)由代數(shù)運(yùn)算定義的結(jié)構(gòu)）可以組成抽象代數(shù)的領(lǐng)域。由于抽象代數(shù)具有極大的通用性，它時(shí)?？梢员粦?yīng)用于一些似乎不相關(guān)的問(wèn)題，例如一些古老的尺規(guī)作圖的問(wèn)題終于使用了伽羅瓦理論解決了，它涉及到域論和群論。代數(shù)理論的另外一個(gè)例子是線性代數(shù)，它對(duì)其元素具有數(shù)量和方向性的向量空間做出了一般性的研究。這些現(xiàn)象表明了原來(lái)被認(rèn)為不相關(guān)的幾何和代數(shù)實(shí)際上具有強(qiáng)力的相關(guān)性。組合數(shù)學(xué)研究列舉滿足給定結(jié)構(gòu)的數(shù)對(duì)象的方法。

    空間

    空間的研究源自于歐式幾何三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有非常著名的勾股定理、三角函數(shù)等。現(xiàn)今對(duì)空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓?fù)鋵W(xué)。數(shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計(jì)算等概念。在代數(shù)幾何中有著如多項(xiàng)式方程的解集等幾何對(duì)象的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念；亦有著拓?fù)淙旱难芯?，結(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間。李群被用來(lái)研究空間、結(jié)構(gòu)及變

    主條目：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

    為了弄清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來(lái)。德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（1845—1918）首創(chuàng)集合論，大膽地向“無(wú)窮大”進(jìn)軍，為的是給數(shù)學(xué)各分支提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而它本身的內(nèi)容也是相當(dāng)豐富的，提出了實(shí)無(wú)窮的思想，為以后的數(shù)學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻(xiàn)。

    集合論在20世紀(jì)初已逐漸滲透到了各個(gè)數(shù)學(xué)分支，成為了分析理論、測(cè)度論、拓?fù)鋵W(xué)及數(shù)理科學(xué)中必不可少的工具。20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家希爾伯特在德國(guó)傳播了康托爾的思想，把集合論稱為“數(shù)學(xué)家的樂(lè)園”和“數(shù)學(xué)思想最驚饒產(chǎn)物”英國(guó)哲學(xué)家羅素把康托的工作譽(yù)為“這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。

    邏輯

    主條目：數(shù)理邏輯

    數(shù)學(xué)邏輯專注在將數(shù)學(xué)置于一堅(jiān)固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言，其為哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ淼漠a(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)性。

    符號(hào)

    主條目：數(shù)學(xué)符號(hào)

    也許我國(guó)古代的算籌是世界上最早使用的符號(hào)之一，起源于商代的占卜。

    我們現(xiàn)今所使用的大部分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)都是到了16世紀(jì)后才被發(fā)明出來(lái)的。在此之前，數(shù)學(xué)是用文字書(shū)寫(xiě)出來(lái)，這是個(gè)會(huì)限制住數(shù)學(xué)發(fā)展的刻苦程序?，F(xiàn)今的符號(hào)使得數(shù)學(xué)對(duì)于人們而言更便于操作，但初學(xué)者卻常對(duì)此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號(hào)包含著大量的訊息。如同音樂(lè)符號(hào)一般，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)符號(hào)有明確的語(yǔ)法和難以以其他方法書(shū)寫(xiě)的訊息編碼。

    嚴(yán)謹(jǐn)性

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言亦對(duì)初學(xué)者而言感到困難如何使這些字有著比日常用語(yǔ)更精確的意思，亦困惱著初學(xué)者，如開(kāi)放和域等字在數(shù)學(xué)里有著特別的意思數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)亦包括如同胚及可積性等專有名詞但使用這些特別符號(hào)和專有術(shù)語(yǔ)是有其原因的：數(shù)學(xué)需要比日常用語(yǔ)更多的精確性數(shù)學(xué)家將此對(duì)語(yǔ)言及邏輯精確性的要求稱為“嚴(yán)謹(jǐn)”

    嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部分?jǐn)?shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去這是為了避免依著不可靠的直觀，從而得出錯(cuò)誤的“定理”或“證明”，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過(guò)許多的例子。在數(shù)學(xué)中被期許的嚴(yán)謹(jǐn)程度因著時(shí)間而不同：希臘人期許著仔細(xì)的論點(diǎn)，但在牛頓的時(shí)代，所使用的方法則較不嚴(yán)謹(jǐn)牛頓為了解決問(wèn)題所作的定義，到了十九世紀(jì)才讓數(shù)學(xué)家用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治黾罢降淖C明妥善處理。數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭(zhēng)論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度當(dāng)大量的計(jì)算難以被驗(yàn)證時(shí)，其證明亦很難是有效地嚴(yán)謹(jǐn)

    數(shù)量

    數(shù)量的學(xué)習(xí)起于數(shù)，一開(kāi)始為熟悉的自然數(shù)及整數(shù)與被描述在算術(shù)內(nèi)的有理和無(wú)理數(shù)

    另一個(gè)研究的領(lǐng)域?yàn)槠浯?，這個(gè)導(dǎo)致了基數(shù)和之后對(duì)無(wú)限的另外一種概念：阿列夫數(shù)，它允許無(wú)限集合之間的大可以做有意義的比較

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