里夏爾幫助伽羅瓦于1828年在法國第一個專業(yè)數(shù)學(xué)雜志《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年報》三月號上，發(fā)表了他的第一篇論文—《周期連分?jǐn)?shù)一個定理的證明》，并說服伽羅瓦向科學(xué)院遞送備忘錄。
1829年，中學(xué)學(xué)年結(jié)束后，伽羅瓦剛滿18歲，7月2日，正當(dāng)伽羅瓦準(zhǔn)備入學(xué)考試時，他的父親由于受不了天主教牧師的攻擊、誹謗而自殺了。
之后在報考巴黎綜合技術(shù)學(xué)校時，在口試中，他巧妙的寫出一組數(shù)列以回答考官關(guān)于“對數(shù)”這樣的過于簡單的問題，而主考的教授比內(nèi)和勒費(fèi)布雷?德?富爾西對伽羅瓦闡述的見解不理解，居然嘲笑他。伽羅瓦由于被狂笑聲所激怒，氣憤地把黑板擦布扔到了主考人頭上，于是再次遭到落選，仍然是一個非正式的預(yù)備生，后來讀了師范大學(xué)。
1829年，伽羅瓦在他中學(xué)最后一年快要結(jié)束時，把關(guān)于群論初步研究結(jié)果的論文提交給法國科學(xué)院，科學(xué)院委托當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人?？挛鲄s再次巧妙地將其遺失了，并且在計劃的討論會中對該論文只字不提。
1830年2月，伽羅瓦將他的群論研究成果比較詳細(xì)地寫成論文交上去了，以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當(dāng)時科學(xué)院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當(dāng)年5月去世了，而在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅瓦的手稿。
就這樣，伽羅瓦遞交的兩次數(shù)學(xué)論文都被遺失了。
第三次他的手稿由數(shù)學(xué)家柏松審查，但由于內(nèi)容太過高深，柏松的評語是：完全不能理解。
而論文中，伽羅瓦通過改進(jìn)數(shù)學(xué)大師拉格朗日的思想，既設(shè)法繞過了拉氏預(yù)解式，又從拉格朗日那里繼承了問題轉(zhuǎn)化的思想（即把預(yù)解式的構(gòu)成同置換群聯(lián)系起來），并在阿貝爾研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了自己的思想，把全部問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析。
這個理論的大意是：每個方程對應(yīng)于一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的伽羅瓦域，這個域?qū)?yīng)一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅瓦群。伽羅瓦域的子域和伽羅瓦群的子群有一一對應(yīng)關(guān)系；當(dāng)且僅當(dāng)一個方程的伽羅瓦群是可解群時，這方程是根式可解的。
伽羅瓦的悲劇在于，他比他同時代的人超前得太多，以致沒人能理解他，甚至高斯，柯西和傅立葉都不能。高斯收到他的論文之后看到標(biāo)題甚至沒有看內(nèi)容就直接扔進(jìn)了廢紙簍。因為關(guān)于五次方程的問題在當(dāng)時被視為無法解決的難題，伽羅瓦那篇論文在高斯看來就像現(xiàn)代一個?？茖W(xué)生聲稱解決了哥德巴赫猜想一樣不靠譜。這是數(shù)學(xué)界的又一大冤案，冤案制造者仍然有高斯。
因從小受父親影響，有著極高的革命熱情，伽羅瓦曾發(fā)誓“如果為了喚起人民，需要我死，我愿意犧牲自己的生命”。后來法國七月革命時，因為在校報上抨擊政治兩面派校長，最終被迫退學(xué)。
1831年7月，被反動王朝視為危險分子的伽羅瓦在國慶節(jié)示威時再次被抓，被關(guān)在圣佩拉吉監(jiān)獄。在這里他慶祝了自己的20歲生日，并渡過了他生命中最后一年的大部分時間。
伽羅瓦在圣佩拉吉監(jiān)獄中寫成的研究報告中寫道：“把數(shù)*算歸類，學(xué)會按照難易程度，而不是按照它們的外部特征加以分類，這就是我所理解的未來數(shù)學(xué)家的任務(wù)，這就是我所要走的道路?！?br/>
“把數(shù)*算歸類”這句話，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，這句話指點(diǎn)出后世的群論和所有衍生理論。其后好幾代數(shù)學(xué)家的工作，才最終實現(xiàn)了伽羅瓦的理想。正是他的著作，標(biāo)志著舊數(shù)學(xué)史的結(jié)束和新數(shù)學(xué)史的開始。
1832年3月16日伽羅瓦獲釋后不久，年輕氣盛的伽羅瓦為了一個女人，有說是醫(yī)師之女，也有說是一個舞女，卷入了一場他所謂的“愛情與榮譽(yù)”的決斗。伽羅瓦非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運(yùn)，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。
或許是伽羅瓦在生活中受到巨大打擊，論文三次被拒，摯愛的父親自殺，未能考入綜合工藝學(xué)院，年輕的充滿激情的心又被心上人拒絕而碎裂，在如此巨大的壓力下，決斗僅僅是他自殺的一種方式，兩人隔著25公尺射擊，伽羅瓦被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟弟說：“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去”。
決斗的前一晚，他用了一整夜的時間在紙上寫下他的研究成果。他不時的中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我沒有時間”，然后又接著寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個小時寫出的東西，卻一勞永逸地給一個已經(jīng)折磨了數(shù)學(xué)家們幾個世紀(jì)的難題找到了真正的答案，這個謎就是在什么條件下方程是可解的，并且由此開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一片新的天地。
伽羅瓦對自己的成果充滿自信，他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性，而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)，這些對于消除所有數(shù)學(xué)界有關(guān)的混亂是有益的?！?br/>
伽羅瓦被埋葬在公墓的普通壕溝內(nèi)，墳?zāi)购笫酪褵o跡可尋。但他不朽的紀(jì)念碑就是他的著作，由他被拒絕的論文和他在死前那個不眠之夜寫下的潦草手稿所組成。全世界都應(yīng)該感謝當(dāng)晚的手稿被舍瓦利葉保留了下來，不然他的論文也將永遠(yuǎn)被高斯、柯西這樣不負(fù)責(zé)任的所謂大師完全埋沒或“遺失”。
歷史學(xué)家們曾爭論過這場決斗是一個悲慘的愛情事件的結(jié)局，還是出于政治動機(jī)造成的，但無論是哪一種，一位世界上最杰出的數(shù)學(xué)家在他21歲時被殺死了，而他開始研究數(shù)學(xué)才僅僅只有五年(伽羅瓦1828年開始研究代數(shù)方程理論時，甚至還完全不了解阿貝爾已做的工作)。
伽羅瓦死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了十四年后，也就是1846年，才由法國數(shù)學(xué)家劉維爾領(lǐng)悟到這些演算中迸發(fā)出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。劉維爾最后將這些論文編輯發(fā)表在他的極有影響的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上，并向數(shù)學(xué)界推薦。1870年法國數(shù)學(xué)家約當(dāng)根據(jù)伽羅瓦的思想，撰寫了《論置換與代數(shù)方程》一書，他在這本書使里伽羅瓦的思想得到了進(jìn)一步的闡述。
伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，為了紀(jì)念他，人們稱之為伽羅瓦理論。正是這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數(shù)學(xué)研究工作提供了新的數(shù)學(xué)工具—群論。它對數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)的發(fā)展有很大影響，并標(biāo)志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。
伽羅瓦“把數(shù)*算歸類”的群論思想，猶如一顆最耀眼的恒星，從此照亮了人類數(shù)學(xué)界的天空。
伽羅瓦非常徹底地把全部代數(shù)方程可解性問題，轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)分析的問題。這是伽羅瓦工作中的第一個“突破”，他猶如劃破黑夜長空的一顆瞬間即逝的流星，開創(chuàng)了置換群論的研究，確立了代數(shù)方程的可解性理論，即后來稱為的“伽羅瓦理論”，從而徹底解決了一般方程的根式解難題。
作為這個理論的推論，它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解；它漂亮地證明高斯的論斷：若用尺規(guī)作圖能作出正p邊形，p為質(zhì)費(fèi)馬數(shù)（所以正十七邊形可做圖）；以及完美證明了古代三大作圖問題中的兩個：用圓規(guī)、直尺(無刻度的尺)三等分任意角和作倍立方體不可能。
另外，懷爾斯在復(fù)證費(fèi)馬大定理的時候，亦使用到伽羅瓦理論。
伽羅瓦理論的建立，不僅完成了由拉格朗日、魯菲尼、阿貝爾等人開始的研究，而且為開辟抽象代數(shù)學(xué)的道路建立了不朽的業(yè)績。
對伽羅瓦來說，他所提出并為之堅持的理論是一場對權(quán)威、對時代的挑戰(zhàn)，他的“群”完全超越了當(dāng)時數(shù)學(xué)界能理解的觀念。也許正是由于年輕，他才敢于并能夠以嶄新的方式去思考，去描述他的數(shù)學(xué)世界，而也正因如此，他才受到了不公正的冷遇。
而伽羅瓦除了自己毫無意義的死亡之外，還因為其對數(shù)學(xué)的敏感，留下了一段用圓周率破案的千古傳奇。
有一天，伽羅瓦得到了一個傷心的消息，他的一位老朋友魯柏被人刺死了，家里的錢財被洗劫一空。而女看門人告訴伽羅瓦，警察在勘察現(xiàn)場的時候，看見魯柏手里緊緊捏著半塊沒有吃完的蘋果餡餅。女看門人認(rèn)為，兇手一定就在這幢公寓里，因為出事前后，她一直在值班室，沒有看見有人進(jìn)出公寓?？墒沁@座公寓共有四層樓，每層樓有15個房間，共居住著一百多人，這里面到底誰會是兇手呢？
伽羅瓦把女看門人提供的情況前前后后分析了一番：魯柏手里捏著半塊餡餅，是不是想表達(dá)什么意思呢?伽羅瓦忽然想到：餡餅，英文里的讀音是“派”，而"派"正好和表示圓周率的讀音相同。而魯柏生前酷愛數(shù)學(xué)，伽羅瓦知道，他經(jīng)常把圓周率的近似值取成3.14來做計算?！芭伞薄?.14，魯柏會不會是用這種方法來提示人——?dú)⒑λ膬词值姆块g號正是314呢？
為了證實自己的懷疑，伽羅瓦問女看門人：“314號房間住的是誰？”
“是米賽爾?！迸撮T人答道。
“這個人怎樣？”伽羅瓦追問到。
“不怎樣，又愛喝酒，又愛賭錢。”
“他現(xiàn)在還在房間嗎？”伽羅瓦追問得更急切了。
“不在了，他昨天就搬走了?！?br/>
“搬走了？”伽羅瓦一呆，“不好，他跑了！”
“你懷疑是他干的嗎？”女看門人問。
“嗯，如果我沒有猜錯的話，他一定就是殺害魯柏的兇手！”
伽羅瓦向女看門人講述了自己的推理過程，他們立刻把這些情況報告了警察要求緝捕米賽爾。米賽爾很快被捉拿歸案，經(jīng)過審訊，他果然招認(rèn)了他因見財起意殺害魯柏的全過程。就是這半塊餡餅，讓魯柏在被害之際還提供了兇手的線索，并被伽羅瓦注意到，從而抓到了真兇。
了解到這些歷史的傳奇，言羽感受到了一種深深的孤獨(dú)與悲哀，一種來自人類最高智慧的孤獨(dú)與悲哀。但是，歷史的曲折并不能埋沒真理的光輝，由伽羅瓦開始的群論，不僅對近代數(shù)學(xué)的各個方向，而且對物理學(xué)、化學(xué)的許多分支都產(chǎn)生了重大的影響。
羅瓦理論被擴(kuò)充并推廣到很多方向。戴德金曾把伽羅瓦的結(jié)果解釋為關(guān)于域的自同構(gòu)群的對偶定理。隨著20世紀(jì)20年代拓?fù)浯鷶?shù)系概念的形成，德國數(shù)學(xué)家克魯爾推廣了戴德金的思想，建立了無限代數(shù)擴(kuò)張的伽羅瓦理論。伽羅瓦理論發(fā)展的另一條路線，也是由戴德金開創(chuàng)的，即建立非交換環(huán)的伽羅瓦理論。
而言羽等先靈派科學(xué)家后來結(jié)合了中國古代先靈的數(shù)理知識，在阿貝爾和伽羅瓦的群論基礎(chǔ)上，將伽羅瓦理論拓展運(yùn)用到了星際旅行的空間變換之中，實現(xiàn)了超高效的能源傳送和時空矩陣戰(zhàn)略布局。
比如希臘的古生物科學(xué)家伊蓮娜就利用等角共軛點(diǎn)（isogonalconjugatepoints）可計算原理，在星際異星戰(zhàn)役中，利用音波和地震，使星球共軛破裂及極限主應(yīng)力產(chǎn)生可預(yù)期的連續(xù)變化，從而大規(guī)模地短期極速殺傷或長期持續(xù)破壞外星生物種群生態(tài)環(huán)境，在星際戰(zhàn)役中發(fā)揮了重要作用（共軛在空間物質(zhì)能量轉(zhuǎn)換中有特殊作用，比如地震斷裂共軛角變化范圍趨勢是隨著與驅(qū)動邊界距離的增大而減小,并具有波狀起伏的特征，在板塊邊緣驅(qū)動力的擠壓作用下,巖石圈下層塑性流動網(wǎng)絡(luò)的共軛角隨著變形的增大而由初始的直角變?yōu)殁g角，變化函數(shù)由數(shù)學(xué)群論可推算）。
先靈派科學(xué)家更發(fā)現(xiàn)，通過計算機(jī)群論方程式計算，可以如《易經(jīng)》暗含的太極萬有統(tǒng)一理論一般，推演小至微粒大到星球的宇宙萬物的數(shù)理變化，推算并改變原子、分子、晶體和星系等萬物的物理體系結(jié)構(gòu)和運(yùn)動軌跡，甚至可使共軛分子和非共軛分子相互轉(zhuǎn)化，改變物質(zhì)的光子吸收特性和非平面分子內(nèi)共軛電荷轉(zhuǎn)移化合物的發(fā)光行為，實現(xiàn)并優(yōu)化三維及多維光信息存儲（共軛分子含有一個共軛體系，表現(xiàn)出特有的性能。非共軛分子中的每個雙鍵各自獨(dú)立地表現(xiàn)它們的化學(xué)性能，一般可以用雙鍵的性質(zhì)來推斷它們的性能。共軛分子中的兩個雙鍵形成一個新體系，它們的物理化學(xué)性質(zhì)與非共軛烯烴不同。它們在吸收光譜、折射率、鍵長和氫化熱等方面都不同）。
先靈派科學(xué)家由此也找到了打開人腦記憶的眾妙之門，找到了傳統(tǒng)人腦生物電和智能芯片計算機(jī)矩陣的融合交流方法，找到了人類夢境與現(xiàn)實之間意念顯化、能量和物質(zhì)相互轉(zhuǎn)化的方法，并且找到了傳統(tǒng)可見光背后隱藏的暗物質(zhì)秘密，找到了在浩瀚宇宙和平行世界中穿越的不二法門，由此不僅可以預(yù)測未來，還能直接或間接影響平行世界的過去和未來。